劳动调解中心主要负责以下工作：

案件受理与分流：

负责劳动人事争议案件的案前引导、案件分流与登记、案件委派调解等。

调解服务：

通过汇聚多方力量（如人社、法院、司法等），建立多元化解机制，提供调解服务，旨在将纠纷回流到基层调解体系，推动矛盾纠纷就地化解。

法律咨询与援助：

为劳动者和企业提供法律咨询、法律援助、劳动仲裁代理等全方位的法律服务。

调解协议制作与履行：

对经调解达成调解协议的，制作调解协议书，并督促双方当事人及时履行协议；对不能履行协议且符合申请条件的，分类引导当事人依法申请仲裁审查或司法确认。

引导与分流：

对确不属于联合调解受理范围、当事人不同意调解或者未能调解成功的新就业形态劳动纠纷，依法引导当事人向有管辖权的劳动人事争议仲裁机构申请仲裁或者向人民法院提起诉讼。

普法宣传：

进行劳动法律法规的宣传教育，做好劳动争议的预防工作。

巡回法庭与心理咨询服务：

设置巡回法庭、心理咨询室等专业功能室，提供更加集成、高效、专业、便捷的调解服务。

多元调解：

构建一体联动、多元调解、紧密衔接、齐抓共管的“大维权”“大调解”体系。

综上所述，劳动调解中心在劳动争议解决中发挥着重要作用，通过提供调解、法律咨询、法律援助等多种服务，旨在促进劳动关系的和谐稳定，保护劳资双方的合法权益。