打人轻伤逃跑的法律后果主要包括以下几方面：

刑事责任：

打人轻伤逃跑的行为构成故意伤害罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条的规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。

民事赔偿：

除了刑事责任外，逃跑的行为人还需要对受害人进行医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等费用的赔偿。

法律追诉：

如果受害人向公安局报案，公安机关会立案侦查，并对在逃的犯罪嫌疑人进行拘留、通缉或网上追逃。

自首情节：

如果行为人在案发后自首，可以从轻或减轻处罚。

综上所述，打人轻伤逃跑的后果较为严重，不仅面临刑事处罚，还需承担民事赔偿责任，并可能面临公安的追捕和法律的进一步追究。建议尽早自首并配合调查，以争取从轻处理。